Καθαρίζουμε τα κρεμμύδια και τα κόβουμε στη μέση και κατόπιν σε χοντρές φέτες.

Σε μια κατσαρόλα λιώνουμε το βούτυρο και το λάδι μαζί και προσθέτουμε το κρεμμύδι. Κλείνουμε το καπάκι και μαγειρεύουμε το κρεμμύδι σε πολύ χαμηλή φωτιά, μέχρι να μαλακώσει και να καραμελώσει ελαφρώς, γύρω στα 15 λεπτά. Κάθε τόσο ρίχνουμε μια ματιά, για να μην καούν και προσθέτουμε λίγο ζωμό, εάν χρειαστεί. Όταν τα κρεμμύδια έχουν πάρει χρώμα, σβήνουμε με το κρασί. Προσθέτουμε το ζωμό και τα μυρωδικά. Ανεβάζουμε στη φωτιά. Όταν βράσει η σούπα, σκεπάζουμε, χαμηλώνουμε τη φωτιά και την αφήνουμε να σιγοβράσει για 15-20 λεπτά.

Τοποθετούμε τη σούπα σε 8 πυρίμαχα σκεύη ή βαθιά πυρίμαχα μπολ με διάμετρο γύρω στα 12 εκ. Αφήνουμε τη σούπα να κρυώσει λίγο μέσα στα σκεύη. Προσθέτουμε το τυρί.

Εν τω μεταξύ ανάβουμε το φούρνο στους 200 βαθμούς. Σε μια ελαφρώς αλευρωμένη επιφάνεια ανοίγουμε το πρώτο κομμάτι της σφολιάτας σε ένα τετράγωνο των 48 εκ. από κάθε πλευρά. Κόβουμε το κομμάτι σε 4 ίσα τετράγωνα και κόβουμε κάθε τετράγωνο σε ένα κύκλο 4 εκ. μεγαλύτερο από τη διάμετρο των μπολ. Αλείφουμε την περιφέρεια του κάθε κυκλικού κομματιού σφολιάτας με το αβγό και τo γάλα και τοποθετούμε έναν κύκλο πάνω από κάθε μπολ, πιέζοντάς το γύρω-γύρω, για να κολλήσει. Ψήνουμε στους 180 βαθμούς μέχρι να φουσκώσει και να ροδίσει, γύρω στα 20 λεπτά. Κατεβάζουμε από το φούρνο και σερβίρουμε αμέσως, σπάζοντας τη ζύμη έτσι, ώστε να πέσει μέσα στη σούπα σαν ψωμί.