Καθαρίζετε τις αγκινάρες. Τις βουτάτε σε αλατόνερο, στο οποίο έχετε προσθέσει χυμό λεμονιού προκειμένου να μην σας μαυρίσουν. Ξεφλουδίζετε τα κρεμμυδάκια και τις πατάτες και τα βάζετε ολόκληρα σε μια κατσαρόλα με νερό. Ετοιμάζετε όλα τα υλικά.

Μέσα σε μια κατσαρόλα όπου έχει κάψει λίγο λάδι, τσιγαρίζετε ελαφρώς τα κρεμμυδάκια και το ψιλοκομμένο φρέσκο κρεμμυδάκι, ίσα-ίσα μέχρι να αρχίσουν να αλλάζουν χρώμα. Μετά, προσθέτετε 2 φλιτζάνια νερό, τα καρότα και τον άνηθο και μαγειρεύετε για 10 λεπτά. Ρίχνετε άλλο ένα φλιτζάνι νερό και το χυμό από 1 1/2 λεμόνι. Με το υπόλοιπο λεμόνι, θα τρίψετε τις αγκινάρες.

Αφού έχουν βράσει όλα τα υλικά, προσθέτετε τις πατάτες, που έχετε ξεπλύνει καλά, καθώς και τις αγκινάρες με τα κοτσάνια τους προς τα πάνω. Αλατοπιπερώνετε και τα σκεπάζετε με ένα λαδόχαρτο στο μέγεθος της κατσαρόλας, με μια τρύπα στο μέσο.

Βάζετε το καπάκι της κατσαρόλας (φροντίστε οι αγκινάρες να καλύπτονται σχεδόν εξολοκλήρου από το νερό) και αφήνετε το φαγητό να σιγοβράσει για μια ώρα περίπου, έως ότου πιεί το ζουμί του και μείνει μόνο το λάδι.