Ζεσταίνετε το λάδι στην κατσαρόλα προσθέτοντας τα κρεμμύδια. Σκεπάζετε με το καπάκι, χαμηλώνετε τη φωτιά και αφήνετε τα κρεμμύδια να μαλακώσουν για 15 λεπτά στον ατμό. Ρίχνετε 3 φλιτζάνια νερό στην κατσαρόλα και βράζετε. Προσθέτετε το κρέας, αλατοπιπερώνετε κλείνετε το καπάκι και σιγοβράζετε σε χαμηλή-μέτρια φωτιά για 2 ώρες περίπου ή μέχρι να μαλακώσει το κρέας και να ξεκολλάει σχεδόν από το κόκκαλο. Αφαιρείτε τον αφρό που έχει μαζευτεί από το βράσιμο του κρέατος.

Βγάζετε το κρέας από την κατσαρόλα και το βάζετε στην άκρη. Προσθέτετε 4 φλιτζάνια νερό στην κατσαρόλα, ρίχνετε λίγο αλάτι και συνεχίζετε το βράσιμο. Προσθέτετε τις χυλοπίτες και σιγοβράζετε μέχρις ότου είναι έτοιμες. Μην τις σουρώσετε αλλά βγάλτε τις με μια τρυπητή κουτάλα και τις βάλτε τις σε ένα πιάτο ανακατεύοντάς τις με λίγο λάδι για να μην κολλήσουν. Βάζετε το κρέας στο μέσο της πιατέλας, πάνω από τις χυλοπίτες.

Φτιάχνετε το αυγολέμονο και προσθέτετε στη συνέχεια με την κουτάλα το ζωμό από το κρέας (μια κουταλιά) ανακατεύοντας σταθερά, χωρίς να σταματάτε. Κάνετε το ίδιο πράγμα με άλλη μια κουταλιά ζωμού κι έπειτα χύνετε το μείγμα στην κατσαρόλα ανακατεύοντάς το με το υπόλοιπο ζωμό μέχρι να δέσουν. Περιχύνετε το φαγητό με το αυγολέμονο και σερβίρετε αμέσως.